Équation du gala

Solution

149 hommes, 259 femmes et 92 enfants

Nous n'avons pas trouvé jusqu'ici de technique simple pour résoudre cette énigme.

La problématique est la suivante.

x, y, z sont les nombres respectifs d'hommes, femmes et enfants.
x*48 + y*12 + z*45 doit être un multiple de 100. (48, 12, et 45 sont les décimales des prix)

Les deux équations :

7.48x + 7.12y + 0.45z = 3000
x + y + z = 500

On peut simplifier cette équation puis réutiliser les raisonnements sur les décimales multiples de 100.

Tout l'enjeu est de trouver une 3ème équation avec x, y ou z. Car dans une équation à 3 inconnues, il faut 3 équations.

À partir de là, on peut chercher en tâtonnant. Jusqu'ici nous n'avions pas trouvé mieux. Mais un internaute a pu trouvé une autre approche. Elle consiste à s'appuyer sur le fait que x, y et z sont des entiers naturels. Mais attention, cela devient beaucoup plus complexe d'un point de vue mathématique.

2 contraintes explicites :
x + y + z = 500
<=> x = 500 - y - z (1)

7.48x + 7.12y + 0.45z = 3000
<=> 748x + 712y + 45z = 300000 (2)
(On multiplie par 100 pour avoir des nombres entiers)

2 contraintes implicites :
x, y et z sont des entiers

x >= 0 ; y >= 0 ; z >= 0

On commence par injecter (1) dans (2) :
748 * (500 - y - z) + 712y + 45z = 300000
<=> 374000 - 748y - 748z + 712y + 45z = 300000
<=> 36y + 703z = 74000

On utilise ensuite le fait que y et z soient des entiers,
Cette équation est donc une équation diophantienne
(le détail de la méthode peut être trouvé ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne_ax_%2B_by_%3D_c)

Application :
On commence par trouver une solution particulière de 36y + 703z = 1 en utilisant l'algorithme d’Euclide étendu :
703 = 36 * 19 + 19 <=> 19 = 703 - 36 * 19

36 = 19 * 1 + 17 <=> 17 = 36 - 19 * 1
= 36 - (703 - 36 * 19) * 1
= 36 - 703 + 36 * 19
= -703 + 36 * 20

19 = 17 * 1 + 2 <=> 2 = 19 - 17 * 1
= (703 - 36 * 19) - (-703 + 36 * 20) * 1
= 703 - 36 * 19 + 703 - 36 * 20
= 703 * 2 - 36 * 39

17 = 2 * 8 + 1 <=> 1 = 17 - 2 * 8
= (-703 + 36 * 20) - (703 * 2 - 36 * 39) * 8
= -703 + 36 * 20 - 703 * 16 + 36 * 312
= -703 * 17 + 36 * 332
= 703 * (-17) + 36 * 332

On a donc :
36 * 332 + 703 * (-17) = 1
<=> 36 * (332 * 74000) + 703 * (-17 * 74000) = 74000
<=> 36 * 24568000 + 703 * (-1258000) = 74000

On a donc une solution particulière : (y0 = 24568000, z0 = -1258000)
L'ensemble des solutions est donc :
y = 24568000 + 703k
z = -1258000 - 36k
k étant un entier

Note : Il est aussi possible d'utiliser les valeurs particulières y0 = 259 et z0 = 92, ce qui simplifie énormément la suite du calcul.
Cependant j'ai trouvé ces valeurs en testant toutes les possibilités jusqu'à tomber sur une solution et je n'ai pas réussi à trouver un raisonnement rigoureux pour trouver ces valeurs. Je ne les ai donc pas utilisées pour la suite.

On en déduit
x = 500 - y - z
= 500 - (24568000 + 703k) - (-1258000 - 36k)
= 500 - 24568000 - 703k + 1258000 + 36k
= -23309500 - 667k

On cherche ensuite les valeurs de k tel que x, y et z soient positifs
x >= 0 <=> -23309500 - 667k >= 0
<=> -667k >= 23309500
<=> k <= -23309500/667
<=> k <= -34946.78
<=> k <= -34947 (car k est un entier)

y >= 0 <=> 24568000 + 703k >= 0
<=> 703k >= -24568000
<=> k >= -24568000/703
<=> k >= -34947.37
<=> k >= -34947 (car k est un entier)

z >= 0 <=> -1258000 - 36k >= 0
<=> -36k >= 1258000
<=> k <= -1258000/36
<=> k <= -34944.44
<=> k <= -34945 (car k est un entier)

La seule valeur de k qui respecte ces 3 contraintes est k = -34947
On peut donc calculer x, y et z :
x = -23309500 - 667 * (-34947) = 149
y = 24568000 + 703 * (-34947) = 259
z = -1258000 - 36 * (-34947) = 92

Il y a donc 149 hommes, 259 femmes et 92 enfants

Texte de l'énigme sans solution

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