Hercule et la tortue

Solution

Il ne la rattrapera jamais. En ne parcourant à chaque fois que la moitié de la distance les séparant, il ne pourra que s'en rapprocher indéfiniment.

Prenons pour hypothèse que la tortue n'avance pas du tout. La distance parcourue par Hercule (en kilomètres) au bout d'un temps infini sera du genre : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... Cette suite est connue pour s'approcher indéfiniment de 1, sans jamais l'atteindre. On se rend compte que si vous mangez la moitié d'un gâteau, vous mangez la moitié de ce qui reste, et encore la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite, il restera toujours un bout de gâteau. Vous ne mangerez jamais tout.

Donc, même si la tortue n'avance pas, Hercule n'atteindra jamais la tortue qui est à 1km de lui.

Cette énigme ressemble fortement au paradoxe de Zénon d'Elée, bien que différent dans le résultat :

Achille fait une course avec la tortue. La tortue a 100 mètres d'avance mais va 10 fois moins vite qu'Achille. Maintenant, dit Zénon, Achille parcourt 100 mètres et atteint le point de départ de la tortue. Pendant ce temps la tortue a fait le dixième du chemin parcouru par Achille, et se trouve maintenant à 10 mètres devant Achille. Achille parcourt ces 10 mètres. Pendant ce temps la tortue a parcouru 1 mètre. Achille parcourt ce mètre; la tortue avance de 10 centimètres. Achille, parcourt ces 10 centimètres; la tortue avance d'un centimètre. Achille parcourt ce centimètre; la tortue avance d'un millimètre.

Ainsi arguait Zénon, Achille se rapproche constamment de la tortue mais il ne peut jamais la rattraper. Bien évidemment les grecs savaient qu'Achille ne pouvait que dépasser la tortue mais ils étaient incapables de poser le problème correctement, au sens où nous l'entendons actuellement.

Texte de l'énigme sans solution

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